Cómputo del punto máximo utilizando derivadas

Se puede computar el punto de valor máximo de nuestra función de costos utilizando derivadas. La ecuación que describe el valor total es

$$\Large{V(k) = -50k^2 + 1100k}$$

Por lo tanto la derivada de V en función de su variable k es 

$$\Large{\frac{dV}{dk}(k) = -100k + 1100}$$

Esta expresión nos da la pendiente de la función de valor total para cada punto de k. En su punto cúlmine, esta pendiente vale cero, es decir, podemos obtener el valor óptimo de k haciendo

$$\Large{-100k + 1100 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1100}{100} = 11}$$ 

Cálculo de la profundidad óptima por beneficios incrementales

Una manera alternativa de razonar para computar el valor óptimo de k es el considerar lo siguiente:

• Al extraer el primer bloque (nivel 1) ganamos 1050.
• Al extraer el segundo bloque (nivel 2), ganamos 1050, pero perdemos 2*100. El incremento es 950.
• Al extraer el tercer bloque (nivel 3), ganamos un 1050 adicional, pero perdemos 6*50. El incremento es 750.

En general vemos que al agregar un nuevo nivel, ganamos siempre 1050, pero agregamos 2*(k-1) bloques de lastre, es decir, debemos gastar -2*(k-1)*50. El valor incremental neto que percibimos por el nivel k es entonces

$$\Large{ V_{inc}(k) = 1050 - 50 \times 2 \times (k-1) }$$ 

Esto significa que no queremos ir agregando niveles para siempre, ya que eventualmente  el incremento se hará negativo a medida que k es más grande. En el caso extremo. Queremos agregar niveles solo cuando

$$\Large{ V_{inc}(k) \geqslant 0 \Leftrightarrow 1050 - 50 \times 2 \times (k-1) \geqslant 0 \Leftrightarrow k \leqslant \frac{1050}{100} +1 = 11,5 }$$ 

Dado que k debe ser entero, esto significa que el mayor valor se alcanza cuando k=11.