Solución algebraica

Para poder determinar cuál es la profundidad óptima tenemos que determinar el valor de k que nos permite alcanzar el máximo beneficio. Hasta ahora sabemos que no es k=1 ni k=2, ya que al menos con k=3 ganamos más. ¿Cuál será la profundidad ideal?

Necesitamos determinar el valor económico total. Este corresponde a la suma de los bloques que aportan valor, menos el valor del lastre que extraigamos, es decir

$$\Large{V=I-C}$$

Ingreso total como función de la profundidad

Calcular el ingreso (valores positivos) no es difícil. Ya observamos que si el pit tiene k niveles, hay exactamente k bloques amarillos. Es decir, el ingreso total lo podemos calcular como

$$\Large{I(k)=1050k}$$

 Así, por ejemplo, si el pit tiene 10 niveles, entonces el ingreso total es I(10) = 10500. Observar que escribimos I(k), ya que podemos entender el ingreso como una función de la profundidad, es decir, para cada valor de k, tenemos un valor del ingreso y que está dado por la expresión anterior.

Costo total en función de la profundidad

El ejemplo que estamos ejecutando tiene una ventaja y es que todos los bloques de lastre tienen el mismo costo: -50, así que para saber el costo total necesitamos "basta con saber" el número de bloques de lastre. Veamos:

• Cuado k=1, no hay ningún bloque de lastre, así que C(1)=0.
• Cuando k=2, hay dos bloques, así que C(2)=2*50 = 100.
• Cuando k=3, hay 6 bloques, es decir C(3)=6*50=300.
• Cuando k=4 hay 12 bloques: C(4)=12*50=600.

Para poder determinar el número de bloques a la profundidad k, podemos inspirarnos en el pequeño Gauss. Observamos lo siguiente: Si miramos cuántos bloques de lastre hay al lado izquierdo de la columna de mineral cuando el pit tiene k niveles tenemos que:

• En el nivel k no hay ningún bloque de lastre
• En el nivel k-1 hay exactamente 1 bloque de lastre (lado izquierdo solamente)
• En el nivel k-2 hay 2 bloques de lastre
• En el nivel k-3 hay 3 bloques...
• Finalmente en el nivel 1 hay k-1 bloques.

Es decir, el número de bloques de lastre al lado izquierdo es 

$$\Large{1+2+3+ \dots + (k-1) = \sum_{i=1}^{k-1} i }$$

O sea precisamente la suma de los primeros k-1 números naturales. Afortunadamente, ya sabemos cuánto es su valor...

$$\Large{\sum_{i=1}^{k-1}i=\frac{(k-1)k}{2}}$$

Es decir, si consideramos ahora el total de bloques, tato a la derecha como izquierda, tenemos en total (k-1)k bloques, donde cada uno nos cuesta 50. De esta forma el costo total al nivel k es

$$\Large{C(k)=50k(k-1)}$$

Valor del pit en función de la profundidad

Finalmente, podemos escribir una fórmula para el valor total como

$$\Large{V(k)=1050k - 50k(k-1) = -50k^2 + 1100k}$$