Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Cónicas en geometría analítica
La geometría analítica nos permite estudiar figuras geométricas y sus propiedades desde un punto de vista algebraico, es decir, empleando ecuaciones. En este caso, las cónicas corresponden a lugares geométricos de pares (x,y) en el plano que cumplen con una ecuación de segundo grado, es decir en donde
${\Large ax^2 + bxy + cy^2 +dx +ey +h = 0}$
Distintos valores de los parámetros a, b, c, d, e y f definen distintos lugares geométricos, pero se debe cumplir que $ a^2 + b^2 + c^2 > 0$.
Las soluciones para (x,y) de la ecuación correspondiente corresponden a los puntos del lugar geométrico específico.
La parábola
La parábola es el lugar geométrico de puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo (o foco) y de una recta definida (directriz).
La ecuación cuadrática anterior resulta ser una parábola cuando $b = 2 \sqrt{ac}$. Sin embargo, para efectos de esta pequeña lección nos interesa una parábola vertical, la cual está definida por la ecuación siguiente
${\Large y = ax^2 + bx + c}$
Reordenando algunos términos, la ecuación anterior se puede reescribir como $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ en donde
$${\Large p = \frac{1}{4a}, h= - \frac{b}{2a}, k = c - \frac{b^2}{4a}} $$
De esta forma, si graficamos el lugar geométrico obtenido, veremos una figura como la que sigue.
Expresar la parábola en forma algebraica con la ecuación anterior es útil, puesto que permite determinar las coordenadas del foco, del vértice y la ecuación de la directriz.
Notar que el signo de p, que es el mismo que el de a, define si la parábola está abierta hacia arriba y por lo tanto es convexa y tiene un punto mínimo dado por su vértice) o está abierta hacia abajo y por tanto es cóncava y tiene un valor máximo.
Si quieres saber más sobre cónicas, puedes conultar el sitio de Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica
